Разложение функции в ряд фурье имеет вид. Ряды фурье с примерами решений

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-π ; π) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Назначение . Онлайн калькулятор предназначен для разложение функции f(x) в Ряд Фурье.

Для функций по модулю (например, |x|), используйте разложение по косинусам .

Правила ввода функций :

Для функций по модулю используйте разложение по косинусам. Например, для |x| необходимо ввести функцию без модуля, т.е. x .

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.

Сумма ряда Фурье S(x) :

является периодической функцией с периодом 2l . Функция u(x) называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x области R, u(x+T)=u(x).
на интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва
в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:

.
Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале (-l ;l ):

Если f (x ) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n =0.
Если f (x ) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n =0

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где
.
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где .
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Пример №1 . Разложить функцию f (x )=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-π ;π);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;π); построить график полученного ряда Фурье
Решение :
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-π;π) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b n =0, т.к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;π) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:

Таким образом, для четных n (n =2k ) имеем b n =0, для нечетных (n =2k -1) -
Окончательно, .
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:

И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:

Пример №2 . Разложить функцию на интервале (0;6) по синусам кратных дуг.
Решение : Искомое разложение имеет вид:

Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или , откуда n =18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b 18 =1;
или , откуда n =4. Значит, b 4 =-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:

Разложить в тригонометрический ряд Фурье можно непериодическую функцию определенную от минус Пи до Пи -

Разложение кусковой функции в ряд Фурье находят по формуле

где коэффициенты Фурье вычисляют интегрированием

Таким образом, чтобы разложить функцию в ряд Фурье на практике необходимо всего лишь найти коэффициенты Фурье, а для этого нужно хорошо уметь интегрировать. На деле это занимает много времени и сил и многим бывает не под силу. В этом Вы сейчас наглядно убедитесь.

Пример: 6.9 Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Заданная функция непереодическая. Для вычисления коэффициентов Фурье используем формулы

Сложность заключается в том, что для конечной формулы разложения ряда коэффициенты Фурье с четными и нечетными индексами надо свести в один.
Это требует определенных умений, однако реализовать это может научиться каждый. Кроме того, Вы должны безупречно знать что sin(0)=sin(Pi)=0, cos(0)=1, cos(Pi)=-1.
После всех манипуляций разложение функции в ряд Фурье должно принять вид

Если в результате вычислений Вы получили что-то отменное от этого, значит Вы где-то допустили ошибку.

Пример: 6.12 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

Вычисления: Интегрированием функции с тригонометрическими множителями и без них находим коэффициенты Фурье

Составляем формулы коэффициентов Фурье и записываем разложение функции в тригонометрический ряд

Пример: 6.18 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Находим коэффициенты Фурье интегрированием

Интегралы по силам каждому, для вычисления меж необходимы лишь знания значений синуса и косинуса в -Pi 0, Pi. Подставляем полученные коэффициенты в ряд Фурье и получаем следующее разложение функции

Пример: 6.20 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Интегрированием находим коэффициенты Фурье a 0 , a k , b k

Далее для коэффициентов составляем общие формулы и подставляем в формулу разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Функция , определённая при всех значениях x называется периодической , если существует такое число T (T≠ 0) , что при любом значении x выполняется равенство f(x + T) = f(x) . Число T в этом случае является периодом функции.

Свойства периодических функций :

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) имеет период Т ,то функция f(ax) имеет период

В самом деле, для любого аргумента х :

(умножение аргумента на число означает сжатие или растяжение графика этой функции вдоль оси ОХ )

Например, функция имеет период , периодом функции является

3) Если f(x) периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины Т (при этом предполагается, что эти интегралы существуют).

Ряд Фурье для функции с периодом T= .

Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

Где , , , , , … , , , … - действительные числа, называемые коэффициентами ряда.

Каждое слагаемое тригонометрического ряда является периодической функцией периода (т.к. - имеет любой

период, а период () равен , а значит, и ). Каждое слагаемое (), при n= 1,2,3… является аналитическим выражением простого гармонического колебания , где A - амплитуда,

Начальная фаза. Учитывая сказанное, получаем: если тригонометрический ряд сходится на отрезке длины периода , то он сходится на всей числовой оси и его сумма является периодической функцией периода .

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке (следовательно, и на любом отрезке) и его сумма равна . Для определения коэффициентов этого ряда воспользуемся следующими равенствами:

А так же воспользуемся следующими свойствами.

1) Как известно, сумма равномерно сходящегося на некотором отрезке ряда, составленного из непрерывных функций, сама является непрерывной функцией на этом отрезке. Учитывая это, получим, что сумма равномерно сходящегося на отрезке тригонометрического ряда - непрерывная функция на всей числовой оси.

2) Равномерная сходимость ряда на отрезке не нарушится, если все члены ряда умножить на функцию , непрерывную на этом отрезке.

В частности, равномерная сходимость на отрезке данного тригонометрического ряда не нарушится, если все члены ряда умножить на или на .

По условию

В результате почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда (4.2) и учитывая вышеприведенные равенства (4.1) (ортогональность тригонометрических функций), получим:

Следовательно, коэффициент

Умножая равенство (4.2) на , интегрируя это равенство в пределах от до и, учитывая вышеприведенные выражения (4.1), получим:

Следовательно, коэффициент

Аналогично, умножая равенство (4.2) на и интегрируя его в пределах от до , с учетом равенств (4.1) имеем:

Следовательно, коэффициент

Таким образом, получены следующие выражения для коэффициентов ряда Фурье:

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье. Напомним, что точку x o разрыва функции f(x) называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева функции f(x) в окрестности точки.

Предел справа,

Предел слева.

Теорема (Дирихле). Если функция f(x) имеет период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и, кроме того, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях x . Причём в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x) , а в точках разрыва функции f(x) его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. Кроме того, ряд Фурье для функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции f(x) .

Пример : разложить в ряд Фурье функцию

Удовлетворяющую условию .

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому можно записать:

В соответствии с формулами (4.3) , можно получить следующие значения коэффициентов ряда Фурье:

При вычислении коэффициентов ряда Фурье использовалась формула «интегрирования по частям».

И, следовательно,

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T = .

Используем следующее свойство интеграла по симметричному относительно x=0 промежутку:

Если f(x) - нечётная функция,

если f(x) - чётная функция.

Заметим, что произведение двух чётных или двух нечётных функций - чётная функция, а произведение чётной функции на нечётную функцию - нечётная функция. Пусть теперь f(x) - чётная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда, используя вышеуказанное свойство интегралов, получим:

Таким образом, ряд Фурье для чётной функции содержит только чётные функции - косинусы и записывается так:

а коэффициенты bn = 0.

Рассуждая аналогично, получаем, что если f(x) - нечётная периодическая функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то, следовательно, ряд Фурье для функции нечётной содержит только нечётные функции - синусы и записывается следующим образом:

при этом an =0 при n= 0, 1,…

Пример: разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Так как заданная нечетная функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то

или, что то же,

И ряд Фурье для данной функции f(x) можнозаписать так:

Ряды Фурье для функций любого периода T=2l .

Пусть f(x) - периодическая функция любого периода T=2l (l- полупериод), кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [-l, l ]. Полагая x=at, получим функцию f(at) аргумента t, период которой равен . Подберём а так, чтобы период функции f(at) был равен , т.е. T = 2l

Решение. Функция f(x) - нечётная, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому на основании формул (4.12) и (4.13) имеем:

(при вычислении интеграла использовали формулу «интегрирования по частям»).

Функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций в ряд Фурье.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Где коэффициенты ряда Фурье,

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования - от -L/2 до L/2 вместо - π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Функцию f (x ), определëнную на отрезке и являющуюся на этом отрезке кусочно-монотонной и ограниченной, можно разложить в ряд Фурье двумя способами. Для этого достаточно представить продолжение функции на промежуток [–l , 0]. Если продолжение f (x ) на [–l , 0] чётное (симметричное относительно оси ординат), то ряд Фурье можно записать по формулам (1.12–1.13), то есть по косинусам. Если продолжить функцию f (x ) на [–l , 0] нечётным образом, то разложение функции в ряд Фурье будет представлено формулами (1.14–1.15), то есть по синусам. При этом оба ряда будут иметь в интервале (0, l ) одну и ту же сумму.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию y = x , заданную на промежутке (см. рис.1.4).

Решение .

a ). Разложение в ряд по косинусам. Строим чётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её чётным продолжением на [–1, 0 ] и последующим продолжением (по периоду T = 2) на всю ось 0x показан на рис.1.5.

Так как l = 1, то ряд Фурье для данной функции при чётном разложении будет иметь вид

(1.18)

В результате получим при

На всей оси 0x ряд сходится к функции, изображенной на рис.1.4.

2). Разложение в ряд по синусам. Строим нечётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её нечётным продолжением на [–1, 0] и последующим периодическим продолжением на всю числовую ось 0x показан на рис.1.6.

При нечëтном разложении

, (1.20)

Поэтому ряд Фурье по синусам для данной функции при
будет иметь вид

В точке
сумма ряда будет равна нулю, хотя исходная функция равна 1. Это обусловлено тем, что при таком периодическом продолжении точкаx = 1 становится точкой разрыва.

Из сравнения выражений (1.19) и (1.21) следует, что скорость сходимости ряда (1.19) выше, чем ряда (1.21): она определяется в первом случае множителем
, а во втором случае множителем 1/n . Поэтому разложение в ряд по косинусам в данном случае предпочтительнее.

В общем случае можно показать, что если функция f (x ) не обращается в нуль хотя бы на одном из концов промежутка , то предпочтительнее еë разложение в ряд по косинусам. Это обусловлено тем, что при чётном продолжении в соседний промежуток
функция будет непрерывной (см. рис.1.5), и скорость сходимости получающегося ряда будет выше, чем ряда по синусам. Если функция, заданная на , обращается в нуль на обоих концах интервала, то предпочтительнее её разложение в ряд по синусам, так как при этом будет непрерывной не только сама функция f (x ), но и её первая производная.

1.6. Обобщённый ряд Фурье

Функции
и
(n , m = 1, 2, 3,…) называются ортогональными на отрезке [a , b ], если при n ≠ m

. (1.22)

При этом предполагается, что

и
.

Рассмотрим разложение функции f (x ), которая определена на отрезке [a , b ], в ряд по системе ортогональных функций

где коэффициенты (i = 0,1,2...) являются постоянными числами.

Для определения коэффициентов разложения умножим равенство (1.23) на
и проинтегрируем почленно на отрезке [a , b ]. Получим равенство

В силу ортогональности функций
все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного (при
). Отсюда следует, что

(1.24)

Ряд (1.23) по системе ортогональных функций, коэффициенты которого определяются по формуле (1.24), называется обобщённым рядом Фурье для функции f (x ).

Для упрощения формул для коэффициентов применяют, так называемое, нормирование функций . Система функций φ 0 (x ), φ 1 (x ),…, φ n (x ),… называется нормированной на промежутке [a , b ], если

. (1.25)

Справедлива теорема: всякую ортогональную систему функций можно нормировать. Это означает, что можно подобрать постоянные числа μ 0 , μ 1 ,…, μ n ,… так, чтобы система функций μ 0 φ 0 (x ), μ 1 φ 1 (x ),…, μ n φ n (x ),… была не только ортогональной, но и нормированной. Действительно, из условия

получим, что

называется нормой функции
и обозначается через
.

Если система функций нормирована, то, очевидно,
. Последовательность функцийφ 0 (x ), φ 1 (x ),…, φ n (x ),…, определённых на отрезке [a , b ], является ортонормированной на этом отрезке, если все функции нормированы и взаимно ортогональны на [a , b ].

Для ортонормированной системы функций коэффициенты обобщённого ряда Фурье равны

. (1.26)

Пример. Разложить функцию y = 2 – 3x на отрезке
в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения

предварительно проверив их на квадратичную интегрируемость и ортогональность.

Замечание. Говорят, что функция
, заданная на отрезке
, есть функция с интегрируемым квадратом, если она сама и еë квадрат интегрируемы на
, то есть, если существуют интегралы
и
.